Функция Аскерманна (Ackermann function) – это математическая функция, A удовлетворяющая рекурсивным соотношениям

A( 1 , z ) = b + z
A( k , 1 ) = b для k>1
A( k , z ) = A( k-1 , A(k,z-1) )

где параметр b является константой и называется базой.

Обычно предполагается, что база является вещественным числом, причем иногда считают, что база является целым числом. Пока первый аргумент является натураньным числом, уместно также обозначение A(k,z) = A_k(z) . Аналитическое продолжение в область нецелых значений первого аргумента могло бы быть интересной (если не сказать "крутой") задачей математического анализа, в то время как аналитическое продолюение на случай комплексных значений последнего аргумента достаточно понятно и может быть реализовано с помощью аппарата суперфункций; каждая функция Аскерманна (кроме первой) явлается суперфункцией от предыдущей, и каждая функция Аскерманна является передаточной функцией по отношению к последующей.

Я не рассказываю здесь историю открытия функдий Аскерманна: у нас почему–то никто не знает, чем фудоки отличаются от Нибелунгов, а кто открыл функцию Аскерманна, чем интеграл отличается от логарифма и как очищают политуру, даже бомжи знают. Впрочем, если кто интересуется историй, пусть идет на Рувику, там ему расскажут такие истории, что Пеппи Длинный Чулок выпучит глаза от зависти.

Три уравнения в определении выше недостаточны для того, чтобы определить Аскерманов для нецелых значений последнего аргмента. Класс решений может быть существенно сужен требованием, что Аскерманны являются голоморфными функциями по крайней мере в правой комплексной полуплоскости.

Примеры

Первые Аскерманы A, то есть A_k(z = A(k,z) при умеренных значениях целого k, являются хорошо известными; для их использования не требуется знать, что они авляются финкциями Аскерманна.

По определению выше, первая функция Аскерманна это просто прибавление базы b к аргументу.

Затем, используя Третье и Второе уравнения определения, можно выразить функцию A₂:

A( 2 , z) = A( 1 , A(2,z-1) ) = b + A(2,z-1)

Уравнение F(z) = b + F(z-1) имеет очевидное решение F(z) = b z .
Таким образом, A₂ – это просто умножение на постоянную базу b.

A( 2 , z) = b z

Используя Вторую функцию Аскерманна, можно написать несложное уравнение дле Третьей фунцкии и увидеть, что A( 3 , z) = b^z

Таким образом, для целых значений первого аргумента, функции Аскерманна могут строиться по одной. Вычисление каждой следующей функции может быть основано на интеграле Коши или на регулярной итерации.

Для аккуратного вычисления произведений, требуются определенные навыки сложения.
Для аккуратного вычисления экспоненты, требуются определенные навыки сложения и умножения. Кроме того, требуются обратные функции, то есть вычитание и деление. Тогда можно для экспоненты написать ряд Тэйлора, который вообще сходится где ни попади. (Хотя, разумеется, для больших значений аргумента, непосредственное использование ряда Тэйлора можно порекоммендовать разве что лохам, кототые не знают, куда девать вычислительнуе мощности, обрушивающиеся на их головы при покупке компьютера.)
Для аккуратного вычисления четвертой функции Аскермана, называемой Тетрацией, требуются быстрые алгоритмы для экспоненты и логарифма.
Для вычисления Пентации, то есть пятой функции Аскерманна, требуются эффективные алгоритмы вычисления Тетрации и ее обратной функции. Эта обратная функция может называться Абелекспонента или арктетрация, по аналогии с обратными тригонометрическими функциями. И так далее. Всем этим Аскерманам можно давать красивые имена; вложения могут быть вполне в стиле детской сказки про Пампукскую Хрюрю.
Поведение Пентации и более высоких функций Аскерманна пока еще не очень хорошо изучено, но уже понятно, что вдоль вещественной оси эти функции отличаются очень быстрым ростом.

Матан

Математический анализ IXX-XX веков основан в основнм на первых трех функциях Аскермана: сложении, умножении, экспоненцировании; а таже обратных операциях (вычитание, деление и логарифмирование). Функции, котороы могут быть легко выражены в терминах этих операций, считаются элементарными функциями: log, sqrt, sin, arctan, и тому подобные. /p>

Иногда говорят, что "задача допускает точное решение", или аналитическое решение, если это режение можно выразить в терминах специальных функций. Ожидается, что использование функций Аскернана в качестве специальных функций может расширит класс задач, допускающих "точное решение".

Заключение и ссылки

Я собираюсь добавлять ссылки, если какие–либо утверждения выше требуют примеров, пояснений или оноснования. Пока вот такие ссыкли есть:

W.Ackermann. Zum Hilbertschen Aufbau der reelen Zahlen. Mathematische Annalen, v.99, (1928), p.118-133.

J.Ecalle. Theorie des invariants holomorphes. Publications d'mathematiques d'Orsay. n^o 67-74 09, 1970, Universite Paris XI, U.E.R. Mathematique, 91405 Orsay, France. http://portail.mathdoc.fr/PMO/PDF/E_ECALLE_67_74_09.pdf

R.A.Knoebel. Exponentials reiterated. American Mathematics monthly, v.88, No.4, April 1981, pp, 235-252; especially, see page 247.

D.Kouznetsov. Analytic solution of F(z+1)=exp(F(z)) in complex z-plane. Mathematics of Computation, v.78 (2009), 1647-1670.
http://www.ams.org/mcom/2009-78-267/S0025-5718-09-02188-7/home.html
preprint, http://www.ils.uec.ac.jp/~dima/PAPERS/2009analuxpRepri.pdf

D.Kouznetsov. Ackermann functions of complex argument. Preprint ILS, 2008:
http://www.ils.uec.ac.jp/~dima/PAPERS/2008ackermann.pdf

Задать вопрос или оставить комментарий

Related topics:
Наука
Математика