Dictionary by Dmitrii Kouznetsov. Математика conditions of use of this document
English version of this text

Математика – это наука, которая изучает логику, множества, различные классы чисел и другие конструкции с помощью определений, аксиом и теорем. За счет высокого уровня абстракции и общности, математика стала корнем, ядром всех остальных наук; она широко используется в других науках и прочих видах человеческой деятельности.

Логика

Основой математики является логика. В определенном смысле, логика более фундаментальна, чем арифметика, хотя возникла позже. Логика оперирует с утверждениями, которые могут быть либо истинны, либо ложны. Для сложных логическох конструкций используют логическое переменные.

Логическая переменная может иметь значение TRUE или FALSE. Для любой пары логических переменных a и b определены логические операции and и or. Если значения этих переменных всегда равны одно другому, то это выражают символом "=", который обозначает эквивалентность; пишут a=b. При этом основные логическое операции подчиняются следующим правилам:

FALSE and FALSE = FALSE
FALSE and TRUE = FALSE
TRUE and FALSE = FALSE
TRUE and TRUE = TRUE

FALSE or FALSE = FALSE
FALSE or TRUE = TRUE
TRUE or FALSE = TRUE
TRUE or TRUE = TRUE

Логические операции коммутативны:

a or b = b or a
a and b = b and a

Для того, чтобы указывать порядок операций, используют скобки. Логические операции ассоциативны и дистрибутивны:

(a or b) or c = a or (b or c)
(a and b) and c = a and (b and c)

(a and b) or c = (a or b) and (b or c)
(a or b) and c = (a and b) or (b and c)

С этими правилами, сложные логические констукции могут рассматириваться, упрощаться и использоваться.

Теория множеств

Все объекты, которые рассматриваются в математике, принадлежат определенным множествам. В соответствии с определением науки, запрещено использование объектов без указания множества, так как это означает, что объект принадлежит полному множеству.

Таким образом, теория множеств столь же фундаментальна, как и логика. Без логики, нельзя орерировать с множествами, а без того, чтобы определить множество логических переменных, нельзя развивать логику.

Историчерски, ученики сперва получают практические навыки арифметики, и только потом (да и то не все) начинают изучать логику и теорию множеств. Некоторые понятия логики и теории множеств достаточно очевидны и иногда могут применяться даже без строгого обоснования.

Счет и арифметика

Одни и те же правила счета могут использоваться для указания количества объектов совершенно разной природы. Тот, кто это первым обнаружил и сформулировал, был великом математиком. Чтобы указывать количество объектов, используются натуральные числа.
Предполагается, что существует множество, называемое натуральные числа, для которых определены правила, обладающие следующими свойствами:

Для любого натутального числа a, существует единственное число a++, которое отлично от a.

Для одинаковых, или эквивалентных чисел используют знак "=" , так же, как и для логических переменных: Если a и b эквиваленты, то пишут a=b.

Для любых не эквивалентных натуральных чисел a и b определены логические операции "<" и ">" так, что только одно из нижеуказанныс выражений имеет значение TRUE, а другое имеет значение FALSE:

a < b , a > b

Кроме того, для любого натуралного числа a, имеют место соотношениа a++ > a . a < a++ .

Предполагается, что для любых натуральных чисел a, b, c,
если a < b и b < c то a < c ; и
если a > b и b > c то a > c .

Предполагается, что любое натуральное число может заменятся его эквивалентом в любом выражении, и это не изменяет значения выражения.

Затем, предполагается, что для любых натуральных чисел a и b, определены арифметические операции сложения "+" и умножения "*", результаты которых являются натуральными числами такими, что

a + b = b + a
a + b > a
a * b = b * a

и для любых натуральных чисел a, b, c имеет место ассоциативность

(a + b) + c = a + (b + c)
(a * b) * c = a * (b * c)

и распределительность

(a + b) * c = a * b + b*c

Кроме того приходится постилировать существование единицы, "unity", то есть такого натурального числа, что для любого натурального числа a, имеют место соотношения

a + unity = a++
a * unity = a

Некоторые натуральные числа имеют устоявшиеся имена. Символ "1", зарезервирован для единицы, то есть 1=unity. затем 1++ имеет имя 2, то есть, по определению, 2=1++. Затем, подобным образом, 3=2++ ; 4=3++ ; 5=4++, 6=5++, 7=6++, 8=7++, 9=8++.

Следующие числа не имеют устоявшихся односимвольных имен. Для таких чисел обычно используется десятичная Арбская числовая система: десять=10=9++, одиннадцать=11=10++, дюжина=dozen=twelve=12=11++, и так далее.

Ктоме того, используется гексагональная система счисления. В этой системе еще несколько натуральных чисел имеют односимвольные имена, а именно A=9++, B=A++, C=B++, D=C++, E=D++, F=E++, но последущие числа, начиная с F++, уже записываются несколькими символами. Совместное использование гексанональной системы и десятичной иногда приводит к путаннице. Кроме того, гексагональная запись некоторых чисел похожа на английские слова, которые могут оказатся неуместными.
Иногда буквы K, M, G используются для больших чисел; хотя порой это приводят к путанице: многие думают, что K означает кило=kilo=1000=тысяча; M=мега=1000000, и так далее; на самом деле K означает 1024 и каждый может убедиться в этом, пересчитав байты на своем флопидиске. (Устный пересчет байтов на винчестере не рекоммендуется: жизни может не хватить.)

Много всякой математики накручено вокруг натуральных чисел. Для многих натуральных чисел определена операция, обратная к ++, она называется "--"; для любого натурального числа a, имеет место соотношение ( a++ ) -- = a Аналогично, для многих натуральных чисел определена операция вычитания ("-") и деления ("/"); эти операции определают как обратные к сложению и умножению. В Теории чисел анализируются случаи, когда результаты таких операций принадлежат к множеству целых чисел.

Измерения

В некоторых случаях удобно рассматривать объекты как непрерывные. (Например, куча риса состоит из вполне дискретных зерен, однако при расчетах может быть удобно допустить, что рис является непрерывным объектом; и, вместо того, чтобы указывать число зерен, указывать, например, обьем или массу. это возможно, сравнивая количество с некототым эталоном, то есть производя измерение. Анализом и оптимизацией измерений занимается специальный раздел физики называемый метрология. Для эффективного описания измерений требуется расширение множества натуральных чисел. Исторически, математика могла возникнуть как теория измерений.

Из натуральных чисел строятся целые числа (добавляются отрицательные числа и ноль; операции "-" и "--" оказываются определенными для всех целых чисел;
рациональные числа, которые можно делить на любое наруралюное число;
веяественные числа, которые позволяют иметь дело трансцедентными функциами;
комплексные числа, в которых существует решение любого алгебраического уравнения;
кватернионы, которые прекрасно описывают вращения спина половинка;
векторы, тензоры, операторы, и еще многие другие обьекты, выдуманные хитроумными математиками для того, чтобы хоть как–то пригладить кошмарно–нестрогие выдумки фантазирующих физиков.

Чсто элементы нового числового множества определяется как пары или как специальные последовательности элементов уже определеного числогово множества. При этом определяется также класс эквивалентости, то есть указывается, в каком случае два элемента нового множества являются эквивалентными, то есть равными. Например, целые числа можно определить как пары натуральных, рациональные – как пары целых, вещественные – как фундаментальные последовательности рациональных, комплексные – как пары вещественных, 3–векторы – как тройки вещественых, кватернионы – как четверки вещественных. Правила операций с элементами новых числовых множеств стараются определять так, чтобы хотя бы некоторые из правил арифметики, установленные для натуральных чисел, были справедливы и для элеметов нового числового множества.

Операции с различными числами, определенными в математике, имеют наиболее широкое применение в физике и других науках. После построения комплексных чисел, становится возможным определение так называемых голоморфных функций. Исследование таких функий является существенной частью матана, то есть математического анализа.

Элеметарные функции и математический анализ

Математический анализ имеет дело с числами, последовательностями и функциями. Определяются понятия производной и интеграла; исследуются свойства решений фукциональных уравнений; в частности, дифуров (то есть дифференциальных уравнений), и интегралных уравнений.

Некоторые наиболее употребимые функции декларируются как специальные функции; а некоротые из них считаются даже элементарными. Основные элементарные функции можно построить из сложения, умножения, экспоненцирования и функций, обратных к этим функциям. Многие специальные функции строятся как интегралы от элементарных функций.

Большая часть матана IXX-XX веков свазана с сложеним, умноженим и экспоненцированим, их обратными функциями и их комбинациями. Специальные математические обозначения используются для того, чтобы запосывать уравнения в компактной форме. Умножение "*" используется так часто, что этот символ обычно просто не пишут. (Иногда это вызывает путаницу.)

Тригонометрия

В школах, свойства многих элементарных функций (например, sin и cos) выводятся на основе планиметрии из дополнительных постулатов, аксиом. Такое построение называется тригинометрия. Тригонометрические функции получаются как свойства прямоугольных треугольников. Использование аксиом и теорем планиметрии для построения тригонометрических функций является традицией, сохранившейся с тех времен, когда экспонента, функциональные уравнения и комплексные числа еще не были построены.

Свойства тригонометрических функций следуют из свойств комплексных чисел и экспоненты. Кроме того, их можно определить как решения дифференциальных уравнений

sin'(x) = cos(x)
cos'(x) = -sin(x)

с граничным условием sin(0)=0 , cos(0)=1 . При этом аргумент x и сами функции могут считаться вещественными.

Функции Аскермана

Функции Аскермана A могут быть определены достаточно простыми уравнениями

A( 1 , z ) = b + z
A( k , 1 ) = b for k>0
A( k , z ) = A( k-1 , A(k,z-1) )