Математические проблемы (Russian version y.2009)
Change for the English version: Mathematical problems, http://www.ils.uec.ac.jp/~dima/D/MathematicalProblems.htm
Preface.
У меня есть некоторые идеи, как решать предлагаемые ниже проблемы, и я стараюсь привести эти решения
в Божеский вид.
Если вы можете сделать это быстрее или лучше – очень хорошо, постарайтесь.
Можете задавать вопросы чтобы я вам помог.
Докажите теорему А:
Пусть t является целой функцией с периодом единица, отличной от константы.
Пусть S означает множество коплексных чисел z таких, что 0≤Re(z)≤1.
Тогда: Для любого комплексного числа p в домене S, за исключением, быть может, одного значения, существует решение u уравнения J(u)=p,
и это решение не единственно.
Докажите нижеследующую Теорему B:
Пусть
C
обозначает множество комплексных чисел
z
таких, что |Im(z)|>0 и/или z>-2.
Тогда
Существует единственная голоморфная на C функция F такая, что
F(z*)=F(z)*
для всех z из C , и
exp(F(z))=F(z+1) для всех z из C
и F(0)=1.
Существует только одна такая функция.
Предложите алгоритм для вычисления этой функции.
Задача на построение A.
Пусть
C обозначает множество комплексных чисел z таких, что
Im(z)>0 или z>1.
Построить голоморфную на C функцию h такую, что
h(z*)=h(z)* для всех z из C, и
h(h(z))=z! для всех z из C , и
при больших |z|, |h(z)| растет медленнее, чем exp(|z|).
Исследуйте единственность этой функции.
Предложите алгоритм для ее вычисления.
Задача на построение B.
Для вещественного d>0, пусть B обозначает множество комплексных чисел z
таких что по крайней мере одно из условий ниже выполнено:
|z| < 1 или { Re(z)>0 , |Im(z)|<d } .
Пусть C обозначает множество комплексных чисел, которые не принадлежат B.
Построить пример целой функции F, такой что
F(0)=1 и |F(z)|<|z| для всех z из C.
Предложите алгоритм для вычисления этой функции.
Обсудить задачи и/или из решения можно здесь
Вернутся на заглавную страницу: Return to the main page: http://www.ils.uec.ac.jp/~dima.
Read the English version of this file: http://www.ils.uec.ac.jp/~dima/D/MathematicalProblems.htm